Рубрики

Задание ЗНО 2011 №35

Задача 1
Найдите наименьшее значение а, при котором имеет решения уравнение

Задача 2
Найдите наименьшее значение а, при котором имеет решения уравнение

Задача 3
Найдите наименьшее значение а, при котором имеет решения уравнение

Решение:
Левая сторона уравнений трех задач одинакова. Преобразуем ее так:
1/2=cos(60°)
√ 3/2 = sin(60°) и учитывая формулу синуса суммы двухуглов:
sin(α + β)=sin(α)cos(β) + cos(α)sin(β) получим левая сторона нашего уравнения равна
sin(x+60) ≤ |1| (всегда меньше или равно по модулю 1)

Для первой задачи имеем:
6 – 5a – 2a2 ≤ |1|
Данное неравенство эквивалентно системе:(объединение)

Преобразуем первое неравенство системы получим:

2a2+5a-5 ≥ 0;
В этом неравенстве а уменьшается неограниченно, позтому оно нам не подходит Смотрим второе неравенство:
2a2+5a-7 ≤ 0; Корни уравнения
2a2+5a-7 = 0 равны -3.5 и 1 в промежутке между корнями(смотри в теории параболу) наше неравенство выполняется и, естественно минимальное значение равно -3.5 :

Для второй задачи имеем:
8 – 7a – 2a2 ≤ |1|
Данное неравенство эквивалентно системе:(объединение)

Преобразуем первое неравенство системы получим:
2a2+7a – 7 ≥ 0;
В этом неравенстве а уменьшается неограниченно, позтому оно нам не подходит
Смотрим второе неравенство:
2a2+7a – 9 ≤ 0 Корни уравнения
2a2+7a – 9 = 0 равны -4.5 и 1
в промежутке между корнями(смотри в теории параболу) наше неравенство выполняется и, естественно минимальное значение равно -4.5

Для третьей задачи имеем:
4 – 3a – 2a2 ≤ |1|
Данное неравенство эквивалентно системе:(объединение)

Преобразуем первое неравенство системы получим:
2a2+3a – 3 ≥ 0;
В этом неравенстве а уменьшается неограниченно, позтому оно нам не подходит
Смотрим второе неравенство:
2a2+3a – 5 ≤ 0;
Корни уравнения 2a2+3a -5 = 0 равны -2.5 и 1
в промежутке между корнями(смотри в теории параболу) наше неравенство выполняется и, естественно минимальное значение равно -2.5

Ответ:
Для первой задачи -3.5;
Для второй задачи -4,5;
Для третей задачи -2,5

Задание ЗНО 2011 №34

На рисунке изображен график функции у=f(x)), определенной на промежутке (-∞ +∞) и имеющей лишь три нуля

график

Задача 1
Решите систему

неравенство

В ответе запишите сумму всех целых решений системы.

Задача 2
Решите систему

В ответе запишите сумму всех целых решений системы.

Задача 3
Решите систему

неравенство

В ответе запишите сумму всех целых решений системы..

Решение:
Во всех трех задачах второе неравенстве системы является парабола ветви которой направлены вверх. Еe значения > 0 в промежутках вне корней. отсюда имеем:

Для первой задачи:
Корни параболы равны -3 и 2. То есть она больше нуля при x < -3, что нам не подходит , так как при этих значениях х f(x) < 0 и x > 2 Из графика f(x) легко видно, что целые решения при x > 2 являются 3, 4, 5, 6 и 9 их сумма равна 27

Для второй задачи :
Корни параболы равны -2 и 3. То есть она больше нуля при x < -2, что нам не подходит , так как при этих значениях х f(x) < 0 и x > 3 Из графика f(x) легко видно, что целые решения при x > 3 являются 4, 5, 6 и 9 их сумма равна 24

Для третьей задачи :
Корни параболы равны -2 и 4. То есть она больше нуля при x < -2, что нам не подходит , так как при этих значениях х f(x) < 0 и x > 4 Из графика f(x) легко видно, что целые решения при x > 4 являются 5, 6 и 9 их сумма равна 20

Ответ:
Для первой задачи 27;
Для второй задачи 24;
Для третей задачи 20

Задание ЗНО 2011 №33

Задача 1
В четырехугольную пирамиду, в основе которой лежит равнобочная трапеция с боковой стороной 13 см и и основаниями 18 см и и 8 см, вписан конус. Найдите площадь боковой поверхности конуса Sбоковое (в см2), если все боковые грани пирамиды наклонены к плоскости основы под углом 60°.
Задача 2
В четырехугольную пирамиду, в основе которой лежит равнобочная трапеция с боковой стороной 20 см и и основаниями 32 см и и 8 см, вписан конус. Найдите площадь боковой поверхности конуса Sбоковое (в см2), если все боковые грани пирамиды наклонены к плоскости основы под углом 60°. .
Задача 3
В четырехугольную пирамиду, в основе которой лежит равнобочная трапеция с боковой стороной 10 см и и основаниями 16 см и 4 см, вписан конус. Найдите площадь боковой поверхности конуса Sбоковое (в см2), если все боковые грани пирамиды наклонены к плоскости основы под углом 60°..
Решение:
Сделаем чертеж:

пирамида

Боковая поверхность конуса вычисляется по формуле S=πRL, где R -радиус основания конуса, а L – образующая конуса. Основание конуса вписано в равнобочную трапецию, откуда понятно, что диаметр основания конуса равен высоте трапеции, а сечением конуса плоскостью проходящей через вершину конуса, центр основания конуса и высоту трапеции является равносторонний треугольник со стороной равной высоте трапеции. Равносторонний, потому, что все грани пирамиды наклонены к основаниюпод углом 60° Из чертежа видно, что образующая L равна высоте трапеции. Исходя из выше сказанного и обозначив высоту трапеции буквой h имеем:

S=πRL=(π 2RL)/2=(πh2)/2, где h2 найдем по теореме Пифагора из треугольника CDE

h2 = DE2 – CE2 где CE равно разности оснований трапеции деленное на два.:

Для первой задачи

DE=13; CE=(18 – 8)/2=5 h2=132 – 52 =169 – 25 =144 S=(πh2)/2=72π

Для второй задачи

DE=20; CE=(32 – 8)/2=12 h2=202 – 122 =400 – 144 =256 S=(πh2)/2=128#960

Для третьей задачи

DE=10; CE=(16 – 4)/2=6 h2=102 – 62 =100 – 36 =64 S=(πh2)/2=32#960

Ответ:

Для первой задачи 13,5;

Для второй задачи 10,5;

Для третей задачи 6;

Задание ЗНО 2011 №32

Задача 1
Двое рабочих, работая вместе, могут скосить траву на участке за 2 часа 6 минут. Сколько времен (в часах) потратит на скашивание травы на этом участке второй рабочий, работая самостоятельно, если ему необходимо на выполнение этого задания на 4 часа больше, чем первому рабочему?
Задача 2
Двое рабочих, работая вместе, могут скосить траву на участке за 2 часа 6 минут. Сколько времен (в часах) потратит на скашивание травы на этом участке второй рабочий, работая самостоятельно, если ему необходимо на выполнение этого задания на 4 часа меньше, чем первому рабочему?
Задача 3
Двое рабочих, работая вместе, могут скосить траву на участке за 2 часа 24 минут. Сколько времен (в часах) потратит на скашивание травы на этом участке второй рабочий, работая самостоятельно, если ему необходимо на выполнение этого задания на 2 часа больше, чем первому рабочему?.
Решение:
Найдем общее уравнение для трех задач, обозначим
t1 – время затраченное на работу первым рабочим, если бы он работал один
t – время затраченное на работу вторым рабочим, если бы он работал один
t1,2 – время затраченное на работу двумя рабочими вместе
Δ – разница между t1 и t( t1 – t)
Тогда имеем: 1/(t+Δ) – такую часть работы сделает первый рабочий за единицу времени
1/t – такую часть работы сделает второй рабочий за единицу времени
1/t1,2 – такую часть работы сделают за единицу времени двое рабочих, работая вместе
Очевидно
1/(t+Δ) + 1/t = 1/t1,2
Приведя к общему знаменателю, и сгрупперовав по степеням переменной t, получим общее уравнение для трех задач:
t2 + (Δ – 2t1,2)t – t1,2Δ = 0
Подставляя исходные данные каждой задачи в это уравнение будем иметь:
Для первой задачи
t1,2 = 2часа 6 минут = 2.1 часа
Δ = -4 часа
t2 + (-4 – 2*2.1)t – 2.1*(-4)= 0
t2 – 8.2t + 8.4= 0 чтобы избавиться от дробей, умножим обе части уравнения на 5 получим
5t2 -41 t + 42= 0 решая это уравнение,получим t=1.2, которое не подходит,так как t(время работы одного рабочего) должно быть больше времени работы двух рабочих и t=7 и
Для второй задачи
t1,2 = 2часа 6 минут = 2.1 часа
Δ = 4 часа
t2 + (4 – 2*2.1)t – 2.1*4= 0
t2 – 0.2t – 8.4= 0 чтобы избавиться от дробей, умножим обе части уравнения на 5 получим
5t2 – t -42= 0 решая это уравнение,получим t=3
Для третьей задачи
t1,2 = 2часа 24 минуты = 2.4 часа
Δ = -2 часа
t2 + (-2 – 2*2.4)t – 2.4*(-2)= 0
t2 – 6.8t +4. 8= 0 чтобы избавиться от дробей, умножим обе части уравнения на 5 получим
5t2 -34 t +24= 0 решая это уравнение,получим t=0.8, которое не подходит,так как t(время работы одного рабочего) должно быть больше времени работы двух рабочих и t=6 и
Ответ:
Для первой задачи t=7;
Для второй задачи t=3;
Для третей задачи t=6;

Задание ЗНО 2011 №31

Задача 1
В отделе работает определенное количество мужчин и женщин. Для анкетирования наугад выбрали одного из сотрудников. Вероятность того, что это мужчина, равняется 2/7 Найдите отношение количества женщин к количеству мужчин, которые работают в этом отделе.
Задача 2
В отделе работает определенное количество мужчин и женщин. Для анкетирования наугад выбрали одного из сотрудников. Вероятность того, что это мужчина, равняется 4/9 Найдите отношение количества женщин к количеству мужчин, которые работают в этом отделе.
Задача 3
В отделе работает определенное количество мужчин и женщин. Для анкетирования наугад выбрали одного из сотрудников. Вероятность того, что это мужчина, равняется 2/7 Найдите отношение количества мужчин к количеству женщин, которые работают в этом отделе.

Решение:
Обозначим
m – количество мужчин в отделе
j – количество женщин в отделе
Pm – Вероятность того, что это мужчина
На основании определения вероятности запишем
Pm =m/(m+j) запишем обратные величины левой и правой частей этой формулы
1/Pm=(m+j)/m Поделим каждое слагаемое числителя правой части на знаменатель, получим
1/Pm=1+j/m откуда находим

j/m =(1 – Pm)/Pm и используя обратные выражения левой и правой части получим
m/j=Pm/(1 – Pm).

Для задачи 1:
Pm=2/7
j/m =(1 – Pm)/Pm(1 – 2/7)/(2/7)=(5/7)/(2/7)=2.5
Для задачи 2
Pm=4/9
j/m =(1 – Pm)/Pm(1 – 4/9)/(4/9)=(5/9)/(4/9)=1.25
Для задачи 3:
Pm=2/7
m/j=Pm/(1 – Pm)=(2/7)/(1 – 2/7)=(2/7)/(5/7)=0.4

Ответ:
Для первой задачи -2.5;
Для второй задачи -1.25;
Для третей задачи -0.4 ;